RUANG VEKTOR UMUM
A.DEFINISI
Sebarang himpunan benda yang dimisalkan dengan V,yang dua operasinya kita definisikan yakni penambahan dan perkalian skalar (bilangan riil).
v Operasi penjumlahan (addition)dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiakan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u+v,yang disebut jumlah u dan v.
v Operasi perkalian skalar(scalar multiplication),dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan objek u pada v dengan suatu objek ku,yang disebut kelipatan skalar(scalar multiple) dari u oleh k.
Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u,v,w pada V dan oleh semua skalar k dan l,maka kita namakan V sebuah ruang vektor(vector space) dan benda-benda V kita namakan vektor.
Aksioma-aksioma tersebut sebagai berikut:
1.Jika u dan v adalah objek-objek dalam V,maka u+v berada dalam V.
2.u+v=v+u
3.u+(v+w)=(u+v)+w
4.Ada suatu objek 0 dalam V,yang disebut suatu vektor nol untuk V,sedemikian sehingga 0+u=u+0=u untuk semua u dalam V.
5.Untuk setiap u dalam V,ada suatu objek-u dalam V,yang disebut negative dari u,sedemikian sehingga u+(-u)=(-u)+u=0
6.Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek dalam V,maka ku ada dalam V.
7.k(u+v)=ku+kv
8.(k+l)u=ku+lu
9.k(lu)=(kl)(u)
10.lu=u
Contoh soal:
Ruang vektor matriks 3x2
1.M={semua matriks 3x2}.Operasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks.Operasi perkaliannya adalah perkalian skalar dari F dengan anggota-anggota M.Apakah M merupakan ruang vektor?
Penyelesaian:
Misalkan matriks A,matriks B, dan matriks C adalah elemen dari M.
A= 
,B=
,C=
,B=,C=Aksioma 1:
A+B=
maka aksioma 1 terbukti karena A+B adalah matrik berodo 3x2
aksioma 2:
A+B=
B+A
B+AMaka aksioma 2 terpenuhi.
Aksioma 3:
A+(B+C)=
=
(A+B)+C
A+(B+C)=
=(A+B)+CMaka aksioma 3 terpenuhi.
Aksioma 4:
A+0=
=
A
=AMaka aksioma 4 terpenuhi.
Aksioma 5:
A+(-A)= )=
=
(-A)+A=0
=(-A)+A=0Maka aksioma 5 terpenuhi.
Aksioma 6:
kA=k
maka aksioma 6 terpenuhi karena kA adalah matrik berodo 3x2 yang merupakan objek di M.
Aksioma 7:
k(A+B)=k
=k
kA+kB
=kkA+kBMaka aksioma 7 terpenuhi.
Aksioma 8:
(k+l)A=(k+l)
Maka aksioma 8 terpenuhi.
Aksioma 9:
k(lA)=k
=kl
=klMaka aksioma 9 terpenuhi.
Aksioma 10:
1A=1
Maka aksioma 10 terpenuhi.
Karena kesepuluh aksioma terpenuhi maka himpunan M merupakan suatu ruang vektor.
Sifat-Sifat Vektor
a)0u=0
b)k0=0
c)(-u)u=-u
d)Jika ku=0,maka k=0 atau u=0
Kami akan membuktikan bagian (a) dan (c) dan meninggalkan bukti lainnya sebagai latihan.
Bukti(a).Kita dapat menuliskan
0u+0u=(0+0)u [Aksioma 8]
=0u [sifat bilangan 0]
Berdasarkan Aksioma 5,vektor 0u mempunyai suatu negative,-0u.Menjumlahkan negatife ini pada kedua ruas di atas akan menghasilkan
[0u+0u]+(-0u)=0u+(-0u)
Atau
0u+[0u+(-0u)=0u+(-0u) [Aksioma 3]
0u+0=0 [Aksioma 5]
0u=0 [Aksioma 4]
Bukti (c). Untuk menunjukkan (-1)u= -u,kita harus menunjukkan bahwa u+(-1)u=0.Untuk melihat ini,amati bahwa
u+(-1)u=1u+(-1)u [Aksioma 10]
=(1+(-1))u [Aksioma 8]
=0u [sifat bilangan]
=0 [bagian (a) di atas]
mind lapor, gambarnya udah ga keliatan lg nih