Rumus-Rumus DIMENSI TIGA

Posted by Unknown | Filed under Label: |
  • Digg
  • Del.icio.us
  • Reddit
  • RSS


DIMENSI TIGA

2.1 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG TITIK
2.1.1 TITIK
Suatu titik ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran(besaran), sehingga dikatakan titik tidak berdimensi.Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan dibubuhi nama pengguna huruf kapital.
Contoh:
A                                 B
Titik A                         Titik A
2.1.2 GARIS
Garis adalah himpunan titik-titik yang memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu.
Contoh:
                                    B                           B                    B


                   A
Gails I             AB (dibaca sinar AB)             AB (dibaca segmen garis AB)
 Garis AB
2 1.3 BIDANG
Bidang adalah himpunan titik-titik yang memi1iki ukuran panjang dan lebar sehingga, dikatakan bidang beidimensi dua.
Contoh :



2.2 MEMAHAMI TENTANC KEDUDUKAN
2.2.1 Hubungan titik dan garis
Perhatikan gambar dibawah (kubus ABCD EFGH)
1.      Melalui sebuah titik dapat dibuat banyak sekali garis.
1.      Titik Pada Garis                      Contoh: garis yang melalui titik B adalah
BA,BC,BD,BE,BH dll
2.      Melalui dua titik hanya dapat dibuat sebuah garis
Contoh: Melalui A dan E  adalah garis AE, garis yang melalui F dan H adalah garis FH.


1.      Melalui sebuah diluar garis dapat dibuat banyak sekali garis yang memotong garis itu .
Contoh : titik D diluar garis AB garis yang memotong AB missal DA,DB dll
2.      Melalui sebuah titik diluar garis hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
Contoh: Garis CDdiluar titik B  garis melalui B//CD adalah garis AB
3.      Melalui sebuah titik diluar garis hanya dapat dibuat sebuah garis yang  garis itu


2.2.2 Kedudukan titik terhadap bidang
Mengenal kedudukan suatu titik terhadap bidang hanya ada 2 kemungkinan
a. Titik terletak pada bidang
b. Titik di luar bidang
Parallelogram: PContoh:                                 Q

 
2.2.2 Kedudukan titik terhadap Garis
a. Dua garis sejajar
Garis AD dan garis EF tersebut  terletak satu bidang dan  tidak akan terpotong
walaupun diperpanjang, dengan AB//EF
b. bua garis yang berpotongi
Garis AB dan AE seperti tampak pada gambar terletak pada satu bidang yaitu AB FE dan mempunyai sebuah titik persekutuan. kedua garis itu berpotongan.
Contoh:

 




         Gb 1                                                       Gb 2
Garis-garis yang berpotongan adalah garis AC dan BD garis BG dan CF (Gambar 1)
a.       Dua garis bersilangan (gb1)
Garis AC dan garis HF adalah dua garis yang tidak terletak pada 1 bidang tidak sejajar, garis AC dan HF ini disebut bersilangan
Contoh :
Garis AB dan DH garis EF dan CG garis HB dan AE
2.2.4 Kedudukan garis Terhadap Bidang
            Perhatikan Kubus ABCD.EFGH!





















Garis II bidang V                    Garis a menembus. P               Garis a terletak  pada bidang V
2.2.5 Kedudukan bidang terhadap bidang lain
a. Dua bidang sejajar
1. Contoh:
Pada kubus ABCD.EFGH, bidang atas EFGH//bidang
Bawah ABCD walaupun diperluas kemampuan kedua  bidang tidak akan mempunyai garis persekutuan
b.   Dua Bidang berpotongan
Pada kubus ABCD.EFGH bidang diagonal ACGE
Berpotongan dengan bidang diagonal BDHF menurut
(= sepanjang) garis PQ .Garis PQ disebut garis persekutuan antara bidang ACGE dan bidang BDHF.
c. Dua bidang berimpit
Dua bidang V dan W dikatakan saling berimpit apabila semua titik yang ada pada bidang V. maka titik itu juga terdapat’terletak pada bidang W.
2.3 PROYEKSI SUDUT
2.3.1 Sudut antara garis dairbidang.
Definisi: jika garis g tidak tegak lurus pada bidang a, maka sudut antara garis g dan bidang ci adalah sudut lancip yang di bentuk oleh garis g dan proyeksi garis g pada bidang  .
<(g,) = <(g,g) =
 sudut antara garis g dan bidang a

 




D. JARAK PADA BANGUN RUANG
1. Jarak Titik ke Titik
        A                                          B     Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB

Contoh :
                                                Dan kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 6 cm, maka:
                                                — jarak titik A dan B adalah 6 cm;
                                                — jarak titik A dan C adalah 6 cm;
                                                — jarak titik A dan G adalah 6cm.
                                         
2.   Jarak Titik ke Garis
Jarak antara tjtik A dengan garis g adalah panjang ruas garis AP di mana titik P terletak pada g dan AP  g.




Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara:
                                                a. titik A ke garis BD;
                                                b. titik A ke garis HG;
                                                c. titik A ke garis HF!
Jawab:
a. Jarak titik A ke garis BD adalah AP, sebab AP BD
AP =  =  cm
b. Jarak titik A ke garis HG adalah AH, sebab HG siku-siku di H, AK =  cm.
c. Jarak titik A ke garis HF adalah AQ, sebab AFH sama sisi.
=    
                                  = 72 – 18 = 54
AQ =  =   cm

3. Jarak Titik ke Bidang
                                                 Perhatikan balok ABCD.EFGH pada Gambar 7.6!
•         Ruas ganis BF diperpanjang menjadi garis BF dan daerah persegi panjang ABCD ‘diperluas menjadi bidang
                                                A’B’C’D’/’
                                          • Apabila kita ambil titik P sembarang pada garis BF
                                          maka proyeksi  titik P pada bidang ABCD adalah titik B.
Demikan pula untuk settap tittk yang terletak pada garis BF proyeksinya pada bidang ABCD adaah titik B. dikatakan bahwa garis BF tegäk lürus pada bidang ABCD.
·         Dari balok di atas dapat pula ditarik kesimpulan bahwa garis tegak lurus pada garis AB dan juga tegak lurus pada garis BC. Sedangkan garis AB dan BC berpotongan di titik B.
Dari  balok tersebut dapat diamati bahwa setiap garis yang terletak pada bidang
ABCD dan melaui titik B pasti tegak lurus garis BF.. Atau setiap garis yäng. terletak pada bidang ABCD pasti tegak lurus garis BF
Dari keterangan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut,
1.      Sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidang apabila garis itu tegak lurus pada dua buah garis berpotongan yang terletak pada bidang tersebut
2.      Jika sebuah garis tegak lurus pada sebuah bidañg maka garis itu tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang tersebut.

 
 A Perhatikan Gambar 7.71
 Anda tentukan titiktitikpada bidang
H. Kemudian buat ruas-ruas garis yang B menghubungkan titik-tiik pada bidang dengan titik A.Ternyata ruas garis yang tependek adalah ruas garis yang menghubungkan Jadi, jarak titik ke bidang adalah jarak tegak lurus dan titik ke bidáng. :
Contoh 1:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Tentukan berapa jarak dan:
a.       titik C ke bidang ABFE;
b.      titik C ke bidang BDHF! . ‘
Jawab:
a.       Jarak titik C kebidang ABFE adalãh CB, sebab CB bidang
ABFE CB =  6 cm
b.      Jarak titik C ke bidang BDHF adalah .CP, sebab CP bidang BDHF.
 =  cm
Contoh 2:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm.
a. Buktikan DF bidang ACH!
b. Berapa )arak titik D ke bidang ACH?




Jawab:
a.       AC  bidang BDHF  ACsemua garis pada bidang BDHF Jadi,AC.DF ,... (i)
CH bidang ADGF CH semua garis pada bidang ADGF Jadi,CHDF.... (ii)
(i) ACDF DF                       bidang
yang memuat AC dan
CH
(ii) CHDF                                 atau DF bidang ACH (terbukti)
b. Karena DF bidang ACH maka jarak titik D ke bidang ACH adalah DP. HDS siku-siku di D
 
= =
 
Gunakan rumus luas pada HDS
 HD x DS = HS x DP
=  =
DP  =
Jadi, jarak titik D ke bidang ACH





E. BESAR SUDUT PADA RUANG
1. Sudut àntara Dua Garis.
a.       Apabila garis a dan b berpotongan di satu titik maka sudut antara garis b adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis a dan b. Biasanya sudut yang lancip.

 
                                                                     sudut antara a dan b

b.      Apabila garis a dan b. bersilangan maka sudut antara garis a dan b sudut yang dibentuk oleh garis a’ dan b’ di mana a II a’ dan b II b’.

                                                                                            =  sudut antara a dan b

E. Jarak
Jarak antara dua bangun ditentukan oleh panjang garis hubung terpendek antara dua bangun tersebut.
1.       Jarak dua titik

 


Jarak antara titik A dan B adalah panjang ruas garis AB.
2.      Jarak titik dan garis



Jarak titik A ke garis g adalah AB, di mana AB garis g.

3.      Jarak titik dan bidang




Jarak titik A ke bidang a adalah AB, di mana AB  bidang a

4.      Jarak dua garis sejajar

 



Jarak dua garis sejajar g dan h adalah AB di mana A pada g dan B adalah proyeksi A pada
5.      Jarak garis dan bidang yang sejajar


Jarak garis g dan bidang a yang sejajar adalah AB, di mana ruas garis AB . g dan AB juga . bidang
6.      Jarak dua bidang yang sejajar


Jarak dua bidang sejajar  danadalah AB di mana AB tegak lurus bidang a dan AB tegak lurus bidang .
7.      Jarak dua garis bersilangan



Jarak dua garis g dan h yang bersilangan adalah AG di mana AB I g dan AB .1. h. Cara melukis:
a. Buat garis  yang sejajar g dan memotong h.
b. Buat bidang a melalui g dan h.
c. Garis g diproyeksikan ke bidang a diperolehdan memotong h di A.
d. Melalui A ditarik garis . bidang a dan memotong g di B.
e. AB adalah jarak garis g dan h.
Contoh:
Balok ABCD . EFGH dengan panjang rusuk AG =8 cm, AD =6 cm, dan AE = 5 cm. Titik P dan Q merupakan titik potong diagonal alas dan atap.
Carilah jarak:
1.      titik B dan F
2.      titik A dan C
3.       titik A dan G
4.      titik F ke garis BC
5.       titik P ke garis HF
6.       titik Q ke bidang ABCD
7.       titik A ke bidarig BCGF
8.       garis AF dan DG
9.       garis BG dan AH
10.  garis BC dan FH
11.   garis BC dan HG
12.  garis EF dan bidang ABCD
13.   garis EG dan bidang ABCD
14.  bidang ABCD dan bidang EFGH

Jawab:


 





1. jarak B dan F adalah BF     = 5 cm
2. jarakAdanC                         =AC
                   
                            =
                            =    = 10 cm
3.    jarak A dan G = AG
              AG =
                     =
                     =
                     = 5 cm
4.      Jarak titik  F ke garis BC adalah panjang              BE = 5 cm
5.      Jarak titk P ke garis HF adalah                              PQ = 5 cm
6.      Jarak  tilik Q ke bidang ABCD adalah                   P0 = 5 cm
7.      Jarak A ke bidang BCGF adalah                            AB = 8 cm
8.       Jarak garis AF dan DG adalah                               AD = 6 cm
9.      jarak garis BG dan AH adalah                                AB = 8 cm
10.  jarak garis BC dan FH adalah                                 BF  = 5 cm
11.   jarakgarisBCdanHGadalah                                    CG  =5cm
12.  jarak gars EF dan bidang ABCD adalah                 AE = 5 cm
13.   jarak garis EG dan bidang ACD adalah                 AE = 5 cm
14.   jarak bidang ABCD dan bidang EFGH ädalah      AE = 5cm,

       


1.   Perhatikan gambar Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Hitunglah jarak:
a.       titik D terhadap garis AE
b.      Titik P terhadap garis  AB
c.       titik H terhadapgaris EF
d.      titik A terhadap garis PB
e.       titik F terhadap bidang ADHE
f.        titik P terhadap bidang ABFE
g.       titik D terhadap bidang BCGF
h.      titik C terhadap bidang ABD
2.     Dan gambar kubus ABCD.EFGFH di atas. tentukan tempat kedudukan dari :
a.       garis AB terhadap garis HG
b.       garis PB terhadap garis AD
c.       garis AB terhadap ganis DH
d.       garis EF terhadap garis CD
e.       garis PF terhadap garis HB
f.       garis AG terhadap garis CH
3. Dan gambar kubus ABCD.EFGH di atas, tentukan tempat kedudukan dari :
a.       bidang ABCD dan bidang BCGF
b.      bidang ABCD dan bidang EHF
c.       bidang APD dan bidang ABD
d.      bidang ACH dan bidang DEG
e.       bidang BDG dan bidang ACH;
f.       bidang ACGE dan bidang BDHF
4.   Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Hitunglah jarak:
a.        titik B dan titik G
b.       titik B dan titik H
c.        titik B dan titik P (P titik tengah FH)
d.      titik G ke garis BC
e.        titik G ke garis BD
f.       titik G ke garis BE
g.       titik E ke bidang CDHG
h.       titik E ke bidang BDHF
i.        titik E ke bidang AFH
j.        titik E ke bidang BDG

5.  Diketahui limas tegak T.ABCD berbentuk persegi panjang AB = 8 cm, BC = 6
    cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Hitunglah jarak titik T ke bidang ABCD!

0 komentar to “ Rumus-Rumus DIMENSI TIGA”

Posting Komentar